我们知道，一个数的平方，永远是正数，10的二次方是正100，负10的二次方还是正100。所以可以理所当然地认为，只有正数才有平方根，负数是没有平方根的。但数学家们在进行计算的时候，其实经常会碰到负数的平方根。比如说，有没有可能找出两个数字，让它们加起来等于10，乘积等于40呢？在实数范围内来看，答案是不存在的。但如果允许负数的平方根存在的话，那我们就可以找出一个答案，只不过这个答案中会包含根号-15这个奇怪的数字。数学家给负数的平方根起了个名字，跟实数相对应，叫虚数，还规定，根号-1叫i，这样的话，根号-20就是20i，根号-15就是15i。
虚数
但虚数这个东西，实在是看不出它有什么意义，所以即使它在数学计算里大量出现，数学家们一开始还是不承认它的名分。比如著名的数学家欧拉就说，虚数是想象出来的数，是不可能存在的，它们什么都不是，纯属虚幻。不过话虽这么说，欧拉该用虚数的时候还是用，因为实在没办法，不用的话，很多计算根本无法进行。
空间中的数
虚数的这种尴尬地位持续了整整有200多年，最后还是两个业余数学家给了它一个名分。这俩人一个是测绘员，一个是会计师，他俩从几何的角度，给虚数做了这样一个解释：你看啊，我们平常说的“数轴”，一般就是画一条横线，然后标上一个零点，左边是负数，右边是正数。那虚数如果要在数轴上找一个位置，应该怎么找呢？这两位说，在这条横线上，那肯定是找不到的，我们应该在零点处画一条跟横轴垂直的纵轴，也标上1、2、3、4……只不过这条线是代表虚数，所以其实是1i、2i、3i……这样一来，两条线组成一个坐标系，所有的数字，就都能在这个坐标系里找到了。比如15i，也就是根号-15，就在坐标轴里的纵轴上，如果是20+根号-15，那就在横轴上找到20，纵轴上找到15i，然后二者一交会，就能在坐标轴里找到这个数字。
坐标轴
你肯定想问，道理我都懂，但这个虚数不还是没用吗？其实，虚数还真有用，而且有大用处。我们可以用虚数，来把时间和空间结合起来，构建出一套四维空间的几何学。而这套几何学会让我们发现，时间和空间并不是绝对独立的，也不是恒定不变的。如果你对物理学比较熟悉就会发现，这个观点就是爱因斯坦相对论的雏形。
虚数有用吗
维度
我们生活的世界，在空间上是一个三维世界，意思就是说，确定任何一个位置，无论你采用哪种方法，都至少需要三个维度的数据才能确定，比如经度、纬度和高度。但如果我们要确定某件事情的具体状况，那光有空间还不够，还得加上另一个维度，时间。比方说，在2017年9月24日晚上10点，北京市海淀区下了一场雨，这才能准确地说出一个具体的事件。所以，我们需要四个维度，才能准确地确定某件事的时空位置。也就是说，我们生活在一个四维的时空世界中。
但如果要把时间看成是第四维度，就必须要面对一个问题，就是怎么才能把时间和空间联系到一起进行计算呢？比如说，我们怎么才能测量一个四维时空里两个事件之间的距离呢？如果要测量长宽高，那我们可以用统一的单位，比如多少米、多少英尺。但如果要测量时间的话，就只能用小时、分钟、年这些计量单位。那1米跟1小时，怎么结合？
测量
乍看起来，这个问题就跟负数的平方根一样，毫无意义，但其实也有办法解决。举个例子。如果你出门问路，说地铁站还有多远啊？那人家可能会跟你说，有点远，走路还要20分钟，你不如骑个共享单车，5分钟就到了。这就是一个典型的，用时间来表示距离的办法。我们只要找到一个确定的速度，就可以把时间转换成空间。那怎么找到这个确定的速度呢？你可能已经想到了，就是光速。科学家已经发现，光在真空中的传播速度是恒定的，不受任何情况的影响。如果我们把光速和时间结合到一起，就可以得到一个距离单位，比如光年就是一个距离单位，代表光在一年时间内传播的距离。如果我们要计算5分钟相当于多远，那就用5分钟乘以光速，就能得到一个距离。
超正方体
现在所有的工具都全了，我们看看科学家是如何确定四维时空里，两个事件的距离的。测量两个事件在空间上的距离很简单，而时间上的距离刚才也说了，我们可以测出两个事件之间的时间间隔，然后乘以光速，就能得到一个距离。
关键在于，时间和空间，毕竟还是不一样的两种东西。不能把这两个结果简单地加在一起，那样是没有意义的。这两个距离必须要有所区分，显示出不同才行。那怎么区分呢？科学家想了个办法：建立一个坐标系，然后把空间距离当做横轴，时间距离当成纵轴，这样一来，四维时间里的距离，就既有空间意义，也有时间意义，能把两者完美地结合到一起。
维度之外
听到这个坐标轴，你应该想起了刚才说到的虚数吧？没错，在这种计算中，虚数就发挥了重要的作用。因为代表时间距离的那根纵轴，实际上就相当于虚数轴。在四维空间的计算中，时间距离前面，是要乘以i的，也就是乘以根号负1，以显示出时间和空间的本质不同。
计算
利用虚数将时间和空间结合在一起，组成坐标系之后，科学家发现了一个非常奇异的现象：我们平常所说的两个事件之间的时间距离和空间距离，其实可以看作是四维距离在时间和空间这两根坐标轴上的投影。这么一来，一旦旋转这个四维坐标系，就可以让时间和距离相互转化。从这一点出发，我们会发现，时间和空间都不是恒定不变的，而是跟物体的运动状态有关。什么意思呢？一个静止的人，和一个高速运动的人，时间在他们身上流逝的快慢是不同的。这就相当于运动旋转了时空坐标系，因此改变了四维距离在时空坐标轴上的投影。听到这里，你可能已经意识到了，这不就是狭义相对论嘛。也就是说，数学家们曾经以为没用的虚数，在相对论的计算中就派上了一个大用场。人们恍然间发现，原来看似毫无意义的虚数之下，居然隐藏着如此重要的意义。
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